三次元
三次元の場合には，
\(\Large P_2 (r, t) = \frac{1}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \)
となるのですが，そのまま r=0 to ∞，としても計算結果が1となりません．
それは，一次元の場合には確率密度を積分すればいいのですが，二次元以上となると中心からの距離ｒによって占有するエリア（面積，体積）が変わってくるからです．
この緑色の体積がｒによってどう変わるかを計算すると，
\(\Large \begin{align*} V (r, \Delta r) &= \frac{4}{3} \pi ( r + \Delta r)^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 \\
&= \frac{4}{3} \pi \left( r^3+3 r^2 \cdot \Delta r + 3 r \cdot \Delta r^2 + \Delta r^3 - r^3 \right) \\
&=
\frac{4}{3} \pi \left( 3 r^2 \cdot \Delta r + 3 r \cdot \Delta r^2 + \Delta r^3 \right) \\
&\simeq 4 \pi r^2 \cdot \Delta r
\end{align*} \)
となりますので，
粒子数＝密度×体積
から，
\(\Large \begin{align*} & 4 \pi r^2 \int_{0}^{\infty} 2 \pi r \frac{1}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} dr \\
&= \frac{4 \pi}{(4 \pi D t)^{3/2}} \int_{0}^{\infty} r^2 e^{- \frac{r^2}{4Dt}} dr \\
\end{align*} \)
を計算することになります（積分範囲が0から∞になっていることに注意）．
次ページにこの積分を解いていきましょう．
